Área máxima: doblando una hoja de papel

Problema 2.- Considere una hoja de papel rectangular ABCD de lados a y b, a<b. Doble la hoja de manera que el vértice B caiga sobre el lado opuesto AD en el punto B’ formando el triángulo rectángulo PAB´ (P es el punto de doblez del lado AB). Hallar las longitudes de los catetos del triángulo rectángulo PAB´ para que su área sea máxima.

Solución.-

Sean x e y las longitudes de los catetos AB’ y AP respectivamente, la longitud de la hipotenusa PB’ es b-y. Del teorema de Pitágoras se obtiene De donde resulta que , igualdad que permite imponer las restricciones siguientes: Sea A el área del triángulo APB’, entonces Ó Luego . Así, el máximo valor de A es que se alcanza cuando ,

Figura: hojadoblada.fig Applet creado el 31/12/05 por Mariano González con CabriJava