Área máxima de la región limitada por una circunferencia y un triángulo equilátero

Problema 1.-Dado un alambre de longitud L, dividirlo en dos partes no necesariamente iguales. Construir con una de las partes un triángulo equilátero y con la otra una circunferencia. Hallar el perímetro del triángulo de manera que la suma de las áreas limitadas por ambas figuras sea la mayor posible.

Solución.- Llamemos P al punto de corte. Siendo x (longitud del segmento AP) el perímetro del triángulo equilátero, cada uno de sus lados mide , su altura y su área . Por otro lado, si la longitud de la circunferencia es L-x (longitud del segmento BP), su radio es y el área del círculo limitado por dicha circunferencia es , sumando las áreas y reemplazando

=
=
=

Como el mayor valor de se alcanzará cuando ó . Pero

Luego el mayor valor de es y se alcanza cuando , mientras que el menor valor de es y se alcanza cuando .

Figura:alambre.fig

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