LOS ERRORES EN EL APRENDIZAJE DE LA MATEMÁTICA
José Luis Henostroza Gamboa
Lima, enero de 1997
http://macareo.pucp.edu.pe/~jhenost/articulos/errores.htm

MOTIVACIÓN E INTRODUCCIÓN

Frecuentemente nos enfrentamos con errores en el proceso de enseñanza- aprendizaje de la Matemática. Desde simples errores de cálculo, atribuibles a factores emocionales, hasta profundos errores de fundamento. Nuestra experiencia personal en Secundaria, en cursos de Matemática Básica de la Universidad, e incluso en talleres con profesores en ejercicio así lo confirman. Y es que los errores se presentan incluso en textos o Programas Oficiales. Para muestra, consignamos algunos errores frecuentes:

es un número irracional (inducido este error por tener una expresión decimal periódica de cincuentiún cifras)

 

De allí nuestro interés en investigar y verter nuestra experiencia docente acerca de este factor del error, para ver cómo podemos enfrentarlo y extraerle algún valor pedagógico. Nuestra reseña comprenderá las siguientes partes:


FUNDAMENTOS FILOSÓFICOS DEL ERROR

A lo largo de la historia del desarrollo del conocimiento científico encontramos el error como un factor que ha contribuido al avance de las ciencias; y es que el error es parte integrante del conocimiento humano.

El estudio del conocimiento humano, de la capacidad del hombre para comprender, ha sido siempre una preocupación constante de la Filosofía, en su rama denominada gnoseología. Bajo este punto de vista podemos precisar que el error es atribuible a

... la capacidad de considerar verdaderos conceptos y procedimientos que están deficientemente desarrollados, que incluyen ideas contradictorias o interpretaciones y justificaciones falsas.

Esto se confirma inclusive en la historia de la Matemática, donde podemos encontrar proposiciones que se consideraron como verdaderas y que con el tiempo se demostró su falsedad.

El problema del error está entonces vinculado al problema de la verdad y de la fuente última del conocimiento. La historia de la Filosofía consta en gran parte de los intentos de respuesta a estos problemas. Reseñemos brevemente los más importantes:

En consecuencia, el problema de la verdad se reduce en Popper a detectar y eliminar el error a través de la crítica permanente de las teorías propias y de otros. Las conclusiones más importantes de Popper serían las siguientes:

  1. No hay fuente última de conocimiento. Toda fuente debe ser aceptada como posible y sometida al examen crítico.
  2. La tradición es la fuente más importante de conocimiento, pues aprendemos la mayoría de cosas a través del ejemplo, o la lectura, o la transmisión oral. Como consecuencia de (a) esta tradición debe someterse al examen crítico y puede ser modificada o abandonada.
  3. La pregunta fundamental no es por las fuentes últimas del conocimiento, sino por la verdad y concordancia con los hechos de nuestras afirmaciones, sometidas éstas a crítica usando toda clase de argumentos.
  4. El conocimiento no puede partir de la nada. El conocimiento avanza por modificación del conocimiento anterior.
  5. No hay criterio alguno para reconocer la verdad (la claridad, la distinción, la coherencia no aseguran la verdad), pero sí hay criterios para detectar el error y la falsedad (la oscuridad, la confusión, la incoherencia, la inconsistencia sí indican error)
  6. El examen crítico de nuestras conjeturas debe ser apoyado por nuestras capacidades de observación, razonamiento, intuición e imaginación.
  7. Un problema resuelto plantea nuevos problemas por resolver, con una profundidad proporcional a la profundidad del problema original y de su solución.

 

CARACTERÍSTICAS FUNDAMENTALES DE LOS ERRORES

Mulhern describe las siguientes características:

 

CATEGORÍAS DE ERRORES

Es importante recordar que los errores, al igual que el fenómeno educativo, son la manifestación exterior de un proceso complejo en el que interactúan muchas variables; por ejemplo, profesor, alumno, currículo, contexto sociocultural. De allí la dificultad comprensible de aislar y delimitar las causas de un error con miras a su tratamiento.

No obstante, la investigación en torno a los errores en el proceso de aprendizaje es una de las principales preocupaciones actuales de la Didáctica de la Matemática en países como Almania, Estados Unidos y España.

El Dr Luis Rico propone cuatro líneas de investigación actual en torno a los errores:

El Dr. Rico consigna también varias propuestas para la categorización de los errores. Cada una está inspirada en un modelo particular del procesamiento de información. Hay también algunas clasificaciones que son resultado de investigaciones empíricas sobre los errores.

Reseñaremos una categorización general de los errores propuesta por Radatz , con un ejemplo ilustrativo de la experiencia nuestra:

 TIPO DE ERROR SEGÚN LA CAUSA

DESCRIPCIÓN

EJEMPLO ILUSTRATIVO

Dificultades del lenguaje

Errores derivados del mal uso de los símbolos y términos matemáticos, debido a su inadecuado aprendizaje.

Dificultades para obtener información espacial

Errores provenientes de la producción de representaciones icónicas (imágenes espaciales) inadecuadas de situaciones matemáticas.

  • Una representación errónea de un problema geométrico enunciado verbalmente.

Aprendizaje deficiente de los prerrequisitos

Errores originados por deficiencias en el manejo de conceptos, contenidos, procedimientos para las tareas matemáticas.

  • Identificación del intervalo contínuo de números reales [ - 2,3] con el conjunto discreto { - 2,- 1,0,1,2,3} .

Asociaciones incorrectas o rigidez del pensamiento

Son errores que en general son causados por la incapacidad del pensamiento para ser flexible, es decir, para adaptarse a situaciones nuevas. Interesan cuatro subtipos:

  • Por perseveración

Predominan los elementos singulares de un problema.

  • Demostrar una propiedad sobre triángulos en general, usando un triángulo rectángulo (un caso particular)

  • De asociación
  • Razonamientos o asociaciones incorrectas entre elementos singulares.

    • Usar por ejemplo

    • De interferencia

    Cuando los conceptos u operaciones interfieren unos con otros.

    • 4 x 4 = 8
    • 23 = 6

  • De asimilación
  • Cuando la información es mal procesada debido a fallas de percepción.

    • 2x - x = 2

    Aplicación de reglas o estrategias irrelevantes

    Errores producidos cuando se aplican reglas o estrategias similares en contenidos diferente. El razonamiento por analogía sabemos que no siempre funciona en Matemática.

    • De la propiedad (correcta) "Si xy = 0, entonces x=0 o y=0" se sigue y aplica (erróneamente) por ejemplo que "Si xy=2, entonces x=2 o y=2"

    SUGERENCIAS PARA EL TRATAMIENTO DE LOS ERRORES

    En el enfoque constructivista cognitivo, basado en el aprendizaje significativo, el error es un factor de interés en el proceso de enseñanza- aprendizaje tanto a nivel de diagnóstico, de proceso (ejecución) y de salida (evaluación).

    En cuanto a diagnóstico, se exploran errores previsibles o preconceptos para luego, mediante material apropiado, crear un "conflicto cognitivo" que hace caer conscientemente al alumno en su error. Esta exploración de posibles errores se puede efectuar a través de diagramas, mapas conceptuales, preguntas, juegos, tareas colectivas de reflexión individual o grupal, etc. Este conflicto se resuelve mediante la discusión y ejecución de tareas apropiadas, para la progresiva construcción de las alternativas correctas de conocimiento.

    Recordemos que la detección de errores y preconceptos como parte de las ideas previas del alumno es el primer paso en la aplicación del modelo constructivista. Su aplicación nos permite identificar las áreas matemáticas más susceptibles de errores graves.

    Existen alternativas para el manejo del error, que van más allá de lo diagnóstico y emplean al análisis del error como parte del proceso de construcción de los conceptos matemáticos y de la comprensión de la naturaleza y métodos de la Matemática misma.

    Se puede por ejemplo, analizar un error como: motivando las siguientes cuestiones:

    Usamos en Matemática algoritmos, demostraciones, definiciones pero a menudo no terminamos de comprender la naturaleza de estas herramientas. El proceso de reflexión anterior nos acerca más a la naturaleza abstracta de estas nociones matemáticas.

    Queda por discutir con los colegas el tratamiento que suelen dar a los errores de sus alumnos. Aquí sólo proponemos una reseña fundamentada y complementada con nuestra experiencia docente.


    © Derechos reservados - José Henostroza G. - 1997
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